BENTUK DAN KOMPLEMEN FUNGSI

9.1 BENTUK FUNGSI
Suatu fungsi boolean dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk berbeda, tapi mempunyai arti yang sama.
Contoh fungsi-fungsi boolean:
f(x) = x + x’ a
g(x,y) = x’ y + x y’ + y’
h(x,y) = x’y’
k(x,y) = (x + y)’
Dengan menggunakan hukum De Morgan dapat dinyatakan bahwa h dan k adalah fungsi yang sama, juga untuk fungsi f1 dan f2. Dari conroh diatas dapat disimpulkan bahwa beberapa fungsi boolean mungkin mempunyai bentuk berbeda tetapi nilainya sama. Oleh karena itu, diperlukan cara untuk menentukan apakah dua ekspresi boolean yang merepresentasikan mempunyai nilai yang sama. Cara tersebut adalah menggunakan bentuk standar atau bentuk kanonik.
Contoh:
Carilah bentuk kanonik dari fungsi boolean berikut:
f(x) = x + x’a, dimana f mempunyai 4 elemen alajabar Boolean yaitu 0, a, a’ ,1
Penyelesaian:
x f(x)
0 0 + 1.a = a
a a + a’.a = a + 0 = a
a' a' + a.a = a' + a = 1
1 1 + 0. a = 1 + 0 = 1


Maka bentuk kanoniknya adalah:
f(x) = f (1)x + f (0) x’
= 1.x + a.x’
= x + ax
= (x + a) . (x + x’)
= (x + a) . 1
= x + a
9.2 Kegunaan Bentuk Kanonik
Bentuk Kanonik digunakan untuk menentukan apakah ekspresi merupakan fungsi yang sama. Seringkali fungsi Boolean dinyatakan dengan operasi yang berlebihan. Bentuk fungsi boolean dikonversi menjadi bentuk minimum, yaitu yang masih menghasilakn nilai yang sama tapi dengan jumlah operasi yang minimum.
Cara representasi fungsi Boolean dapat dinyatakan secara:
1. Aljabar
2. Dengan tabel kebenaran
Contoh:
Representasikan fungsi berikut secara Aljabar dan dengan tabel kebenaran
Fungsi F = x y z’.
Penyelesaian:
Representasi secara aljabarnya adalah F = x y z’.
Representasi dengan tabel kebenarannya adalah:
x y z F
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

Keterangan:
Jumlah eleman dalam tabel kebenaranya adalah jumlah kombinmasi dari nilai variabel-variabelnya, yaitu sejumlah 2N, dimana n adalah banyaknya variabel biner.
9.3 Konversi dari Tabel Kebenaran
Fungsi boolean yang dinyatakan melalui tabel kebenaran dapat dikonversi menjadi bentuk aljabar.
Contoh:
Buatlah bentuk alajabar dari fungsi boolean dengan tabel kebenaran sebagai berikut:
x y z F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

Penyelesaian:
Dari tabel kebenaran diatas, dapat diselesaikan dengan 2 cara:
1. F1 = x’y’z + xy’z’ + xyz
= m1 + m4 + m7
F1’ = x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’
atau
2) F1 = (x+y+z) (x+y’+z) (x+y’+z’) (x’+y+z’) (x’+y’+z)
= (F1’)’
= M0 M1 M3 M5 M6
Keterangan:
Bentuk (1) dan (2) merupakan fungsi/bentuk standar yaitu fungsi literalnya ditulis lengkap pada tiap siku.
Bentuk pertama (1) disebut SOP (Sum Of Product) / Minterm.
Bentuk kedua (2) disebut POS (Poduct Of Sum) / Maxterm.
Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS disebut fungsi/bentuk Kanonik.
9.4 Komplemen Fungsi
Fungsi Komplemen dari suatu fungsi F, yaitu F’ dapat dengan menukarkan nilai 0 menjadi 1 dan nilai 1 menjadi 0. Ada dua cara untuk memperoleh fungsi komplemen, yaitu:
1. Penerapan hukum De Morgan yang diperluas.
2. Penerapan prinsip dualitas.
9.5 Penerapan Hukum De Morgan Yang Diperluas
Hukum De Morgan yang diperluas:
(A+B+C)’ = (A+X)’, misal B+C = X
= A’X’
= A’ . (B+C)’
= A’ . (B’C’)
= A’B’C’
Rumus umum Hukum De Morgan:
(A+B+C+…+H)’ = A’B’C’ ……….H’ dan
(A B C D …..H)’ = A’+B’+C’+….H’
Contoh:
F1 = x (y’z’ + yz)
F1’ = [x (y’z’ + yz)]’
= x’ + (y’z’ + yz)’
= x’ + (y’z’)’ . (yz)’
= x’ + (yz) (y’z’)
9.6 Penerapan Prinsip Dualitas
Penerapan prinsip dualitas dalam pencarian fungsi komplemen adalah sebagai berikut:
1. Teraapkan prinsip dualitas yaitu carilah bentuk dualnya.
2. Lakukan mengkomplemenkan terhadap tiap literal.

Contoh:
1. Diketahui F1 = x (y’z’ + yz), Tentukan F1’?
Jawab
• Cari dual F1 = x + (y’+z’) (y + z)
• Komplemenkan tiap literal = x’ = (y + z) (y’+z’) = F1’
2. F (A, B, C) = å(1, 4, 5, 6, 7). S Tentukan F’ (A, B, C)?
Penyelesaian:
• F’ (A, B, C) = å (0, 2, 3) = m0, m2, m3
3. F1 = x (y’z’ + yz), Tentukan F1’?
Penyelesaian:
• Carilah dualnya F1, yaitu x (y’+z’) . (y+z)
• Komplemen tiap literalnya adalah x’ + (y+z) (y’+z’)


9.7 (Karnaugh Map).
Definisi Metode pemetaan yang dikenalkan oleh Karnaugh, disebut Peta Karnaugh (Karnaugh Map). Metode pemetaan dapat meminimalisasi fungsi yang kompleks. Rangkaian logika yang kompleks merupakan merupakan implementasi dari fungsi Boolean yang memberikan ekspresi yang kompleks pula.
Peta Karnaugh digambarkan dengan kotak bujur sangkar. Setiap kotak merepresentasikan minterm. Jumlah kotak dan minterm tergantung pada berapa jumlah variabel dari fungsi Boolean. N variabel dalam fungsi Boolean diimplementasikan dengan 2N kotak.
9.8 Peta Karnaugh Dua dan Tiga Variabel
Untuk 2 variabel terdapat 4 bentuk minterm, dan peta membentuk 4 bujursangkar. Setiap bujursangkar digunakan untuk 1 bentuk minterm. Untuk 3 variabel terdapat 8 bentuk minterm. Setiap baris dab kolom ditandai dengan sebuah nilai antara 0 dan 1. Kombinasi 0 dan 1 dari setiap baris dan setiap kolom membentuk semua kemungkinan bentuk minterm dari 2 variabel.
Contoh:
Dengan menggunakan Peta Karnaugh, sederhanakan fungsi berikut:
F = `x y + x `y + xy
Penyelesaiannya:
Sesuai dengan bentuk minterm, maka 3 bujursangjar dalam Peta Karnaugh 2 dimensi diisi dengan 1.
Selanjutnya dilakukan pengelompokan semua 1 yang ada dengan membuat kumpulan kotak bujursangkar kecil 2N. Buatlah kelompok yang sebesar-besarnya.
Perhatikan gambar berikut ini.

x y
x 1
y 1 1

Cara menentukan bentuk sederhana dari hasil pengelompokan adalah:
• Carilah variabel mana saja yang memiliki nilai yang sama dalam kelompok tersebut.
• Selanjutnya tentukan bentuk hasil pengelompokan diatas.
Jadi hasil bentuk sederhana dari soal diatas adalah:
F = x + y
9.9 Peta Karnaugh Empat Variabel
Pendefinisian Peta Karnaugh Empat Variabel sama dengan yang lain, yaitu perubahan ke baris/kolom sebelum dan sesudahnya hanya memiliki 1 buah perubahan saja.
Cara menggunakan Peta Karnaugh:
Sesudah dilakukan pengelompokan maka selanjutnya dengan menentukan hasil dari pengelompokan tersebut. Caranya sama seperti diatas yaitu mencari variabel-variabel yang memiliki nilai yang sama.
Contoh:
Dengan menggunakan Peta Karnaugh, sederhanakanlah fungsi-fungsi berikut ini:

Penyelesaian:
uv u`v `u`v `uv
xy 1 1 1
x`y 1 1 1
`x`y 1 1 1 1
`xy 1

Jadi hasil bentuk sederhanya adalah
F = ux + `x`y + `uv

9.10 Peta Karnaugh Lima dan Enam Variabel
Pendefinisian Peta Karnaugh Lima dan Enam variabel sama seperti yang lainnya juga yaitu perubahan ke baris/kolom sebelum dan sesudahnya hanya memiliki 1 buah perubahan saja. Penentuan kelompok dapat dilakukan dengan memperlakukan sistem cermin terhadap garis batas tersebut.
Soal Latihan
Dengan menggunakan Peta Karnaugh, sederhanakanlah fungsi-fungsi berikut ini:
1.
2.
3.
4.
5.
Penyelesaian:
1. Diket
Ditanya
Bentuk sederhananya?
Jawab
Peta Karnaugh:
uv u`v `u`v `uv
xy 1 1 1 1
x`y 1 1 1 1
`x`y 1 1
`xy 1

Jadi hasil bentuk sederhananya adalah:
F = x + uv + v`y
2. Diket
Ditanya : Bentuk sederhananya?
Jawab
Peta Karnaugh:
uv u`v `u`v `uv
xy 1 1 1 1
x`y 1 1 1 1
`x`y 1 1
`xy 1

Jadi hasil bentuk sederhananya adalah:
F = x + uv + v`y
3. Diket
Ditanya
Bentuk sederhananya?
Jawab
Peta Karnaugh:
uv u`v `u`v `uv
xy 1 1 1 1
x`y 1 1 1 1
`x`y 1 1
`xy 1

Jadi hasil bentuk sederhananya adalah:
F = x + uv + v`y
4. Diket
Ditanya
Bentuk sederhananya?
Jawab
Peta Karnaugh:
uv u`v `u`v `uv
xy 1 1 1
x`y 1 1 1 1
`x`y 1 1 1
`xy 1